Chứng Minh Định Lý Đường Trung Bình —

ทฤษฎีบทค่ากลาง (Mean Value Theorem) คืออะไร

ทฤษฎีบทค่ากลาง (Mean Value Theorem หรือ MVT) เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานที่สำคัญที่สุดทฤษฎีหนึ่งในแคลคูลัส กล่าวว่าถ้าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด (a, b) แล้วจะมีจุด c อย่างน้อยหนึ่งจุดใน (a, b) ที่ f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

ความหมายทางเรขาคณิตคือ มีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดบนกราฟที่เส้นสัมผัส (tangent line) ขนานกับเส้นตรงที่ลากจากจุด (a, f(a)) ไปยังจุด (b, f(b)) ซึ่งก็คือ secant line นั่นเอง

ทฤษฎีบทค่ากลางมีเงื่อนไข 2 ข้อที่ต้องเป็นจริงคือ f ต้องต่อเนื่อง (continuous) บนช่วงปิด [a, b] และ f ต้องหาอนุพันธ์ได้ (differentiable) บนช่วงเปิด (a, b) ถ้าเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งไม่เป็นจริงทฤษฎีบทนี้ใช้ไม่ได้

ทฤษฎีบทค่ากลางเป็นรากฐานสำหรับทฤษฎีบทอื่นๆอีกมากเช่น L'Hôpital's Rule, Taylor's Theorem และ Fundamental Theorem of Calculus นอกจากนี้ยังใช้ในการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์ทุกจุดจะเป็นฟังก์ชันค่าคงที่

การพิสูจน์ทฤษฎีบทค่ากลางของ Lagrange

พิสูจน์ Mean Value Theorem โดยใช้ Rolle's Theorem เป็นฐาน

การพิสูจน์ Mean Value Theorem (Lagrange's MVT)

กำหนดให้:

• f ต่อเนื่องบน [a, b]
• f หาอนุพันธ์ได้บน (a, b)

ต้องพิสูจน์ว่า:

มี c ∈ (a, b) ที่ f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

วิธีพิสูจน์:

ขั้นที่ 1: สร้างฟังก์ชันช่วย g(x)

สมการเส้นตรงจาก (a, f(a)) ถึง (b, f(b)):

L(x) = f(a) + [(f(b)-f(a))/(b-a)] * (x-a)

กำหนด g(x) = f(x) - L(x)

g(x) = f(x) - f(a) - [(f(b)-f(a))/(b-a)] * (x-a)

ขั้นที่ 2: ตรวจสอบเงื่อนไขของ Rolle's Theorem

g(a) = f(a) - f(a) - 0 = 0 ✓

g(b) = f(b) - f(a) - [(f(b)-f(a))/(b-a)]*(b-a)

= f(b) - f(a) - f(b) + f(a) = 0 ✓

g ต่อเนื่องบน [a, b] ✓ (เพราะ f ต่อเนื่องและ L ต่อเนื่อง)

g หาอนุพันธ์ได้บน (a, b) ✓

ขั้นที่ 3: ใช้ Rolle's Theorem

เนื่องจาก g(a) = g(b) = 0 และเป็นไปตามเงื่อนไข

ดังนั้นมี c ∈ (a, b) ที่ g'(c) = 0

เนื้อหาเกี่ยวข้อง — อ่านต่อ: Fly.io Machines Team Productivity — วิธีตั้งค่าและใช้งานจริงพร้อมตัวอย่าง

ขั้นที่ 4: หา g'(c)

g'(x) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a)

g'(c) = 0

f'(c) - (f(b)-f(a))/(b-a) = 0

f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a) ∎ (Q.E.D.)

ตัวอย่าง: f(x) = x² บน [1, 3]

แนะนำเพิ่มเติม — ดูสัญญาณเทรดที่ XM Signal

f(1) = 1, f(3) = 9

(f(3)-f(1))/(3-1) = (9-1)/2 = 4

f'(x) = 2x

f'(c) = 4 → 2c = 4 → c = 2

c = 2 ∈ (1, 3) ✓

ทฤษฎีบทค่ากลางของ Rolle และความสัมพันธ์

Rolle's Theorem เป็นกรณีพิเศษของ Mean Value Theorem ที่ f(a) = f(b)

Rolle's Theorem

กำหนดให้:

• f ต่อเนื่องบน [a, b]
• f หาอนุพันธ์ได้บน (a, b)
• f(a) = f(b)

สรุป: มี c ∈ (a, b) ที่ f'(c) = 0

การพิสูจน์:

กรณี 1: f(x) = f(a) สำหรับทุก x ∈ [a, b]

• f เป็นฟังก์ชันค่าคงที่ → f'(c) = 0 สำหรับทุก c ∈ (a, b)

กรณี 2: มี x₀ ∈ (a, b) ที่ f(x₀) > f(a)

• โดย Extreme Value Theorem f มีค่าสูงสุดบน [a, b]
• ค่าสูงสุดเกิดที่จุด c ∈ (a, b) (ไม่ใช่ที่ปลาย เพราะ f(a)=f(b)<f(x₀))
• โดย Fermat's Theorem: f'(c) = 0

กรณี 3: มี x₀ ∈ (a,b) ที่ f(x₀) < f(a)

• คล้ายกรณี 2 แต่ใช้ค่าต่ำสุด

ตัวอย่าง: f(x) = x² - 4x + 3 บน [1, 3]

f(1) = 1 - 4 + 3 = 0

f(3) = 9 - 12 + 3 = 0

เนื้อหาเกี่ยวข้อง — บทความที่เกี่ยวข้อง: หาเปอรเซนต — คู่มือฉบับสมบูรณ์ 2026

f(a) = f(b) = 0 ✓

f'(x) = 2x - 4

f'(c) = 0 → 2c - 4 = 0 → c = 2

c = 2 ∈ (1, 3) ✓

ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบท:

Rolle's Theorem ⊂ Mean Value Theorem ⊂ Cauchy's MVT

Rolle: f(a)=f(b) → ∃c: f'(c)=0

MVT: ทั่วไป → ∃c: f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Cauchy: 2 ฟังก์ชัน → ∃c: f'(c)/g'(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))

คำนวณและพิสูจน์ด้วย Python SymPy

ใช้ Python และ SymPy สำหรับคำนวณและ verify ทฤษฎีบทค่ากลาง

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทค่ากลางในการวิเคราะห์

ตัวอย่างการใช้ MVT ในปัญหาจริงและการพิสูจน์อสมการ

Cauchy Mean Value Theorem และ Extended Versions

ทฤษฎีบทค่ากลางแบบ Cauchy เป็นรูปทั่วไปที่ใช้กับ 2 ฟังก์ชัน

แนะนำเพิ่มเติม — iCafeForex

Cauchy Mean Value Theorem (Generalized MVT)

กำหนดให้:

• f, g ต่อเนื่องบน [a, b]
• f, g หาอนุพันธ์ได้บน (a, b)
• g'(x) ≠ 0 สำหรับทุก x ∈ (a, b)

สรุป: มี c ∈ (a, b) ที่

f'(c) / g'(c) = (f(b) - f(a)) / (g(b) - g(a))

การพิสูจน์:

กำหนด h(x) = f(x) - [(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))] * g(x)

h(a) = f(a) - [(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))] * g(a)

h(b) = f(b) - [(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))] * g(b)

h(b) - h(a) = [f(b)-f(a)] - [(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))] * [g(b)-g(a)]

= [f(b)-f(a)] - [f(b)-f(a)] = 0

ดังนั้น h(a) = h(b)

เนื้อหาเกี่ยวข้อง — แนะนำให้อ่าน Python Rich 12 Factor App

โดย Rolle's Theorem: ∃c ∈ (a, b) ที่ h'(c) = 0

h'(c) = f'(c) - [(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))] * g'(c) = 0

f'(c)/g'(c) = (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) ∎

ตัวอย่าง: ใช้ Cauchy MVT พิสูจน์ L'Hôpital's Rule

ถ้า lim(x→a) f(x) = 0 และ lim(x→a) g(x) = 0

โดย Cauchy MVT บน [a, x]:

f(x)/g(x) = f(x)-f(a) / g(x)-g(a) = f'(c)/g'(c)

เมื่อ x → a, c → a

ดังนั้น lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f'(x)/g'(x)

from sympy import *

x = Symbol('x')

ตัวอย่าง Cauchy MVT

f(x) = x², g(x) = x³ บน [1, 2]

f_expr = x**2

g_expr = x**3

a, b = 1, 2

f_diff = (f_expr.subs(x, b) - f_expr.subs(x, a))

g_diff = (g_expr.subs(x, b) - g_expr.subs(x, a))

ratio_fg = f_diff / g_diff

f_prime = diff(f_expr, x)

g_prime = diff(g_expr, x)

เนื้อหาเกี่ยวข้อง — อ่านต่อ: Nix คืออะไร? สอน Nix Package Manager, NixOS และ Reproducible Builds สำหรับ De…

ratio_prime = f_prime / g_prime

c_val = solve(Eq(ratio_prime, ratio_fg), x)

FAQ คำถามที่พบบ่อย

Q: Mean Value Theorem ใช้ไม่ได้เมื่อไหร่?

A: MVT ใช้ไม่ได้เมื่อฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] หรือหาอนุพันธ์ไม่ได้บนช่วงเปิด (a, b) ตัวอย่างเช่น f(x) = |x| บน [-1,1] ต่อเนื่องแต่หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ x=0 ทำให้ไม่มี c ที่ f'(c) = 0 แม้ว่า secant slope จะเป็น 0

Q: Rolle's Theorem กับ Mean Value Theorem ต่างกันอย่างไร?

A: Rolle's Theorem เป็นกรณีพิเศษของ MVT ที่ f(a) = f(b) ทำให้ secant slope เป็น 0 จึงสรุปได้ว่ามี c ที่ f'(c) = 0 ส่วน MVT เป็นรูปทั่วไปที่ไม่จำเป็นต้อง f(a) = f(b) ในทางปฏิบัติ MVT ถูกพิสูจน์โดยใช้ Rolle's Theorem เป็นฐาน

Q: ค่า c ใน MVT หาได้เสมอไหม?

A: MVT รับประกันว่า c มีอยู่จริง แต่อาจหาค่าที่แน่นอนไม่ได้เสมอ สำหรับฟังก์ชันง่ายๆเช่น polynomial สามารถหาค่า c ได้โดยแก้สมการ f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a) แต่สำหรับฟังก์ชันซับซ้อนอาจต้องใช้วิธี numerical เช่น Newton's Method หรือใช้ SymPy คำนวณ

Q: MVT ประยุกต์ใช้ในชีวิตจริงอย่างไร?

A: ตัวอย่างคลาสสิกคือถ้าขับรถจากเมือง A ไปเมือง B ระยะทาง 120 กม. ใช้เวลา 1 ชั่วโมง ความเร็วเฉลี่ย 120 กม./ชม. โดย MVT การันตีว่ามีช่วงเวลาหนึ่งที่ความเร็วจริงเท่ากับ 120 กม./ชม. พอดี ใช้ในฟิสิกส์สำหรับพิสูจน์ทฤษฎีเกี่ยวกับความเร็วและความเร่ง

Q: SymPy สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทได้จริงหรือ?

A: SymPy ไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทโดยตรง แต่ช่วยตรวจสอบ (verify) ว่าทฤษฎีบทใช้ได้กับฟังก์ชันเฉพาะ โดยคำนวณหาค่า c ที่ทำให้สมการเป็นจริงและตรวจสอบว่า c อยู่ในช่วงที่กำหนด สำหรับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์จริงๆต้องใช้ proof assistant เช่น Lean, Coq หรือ Isabelle